1、电磁流量计测量理论
述电磁流量计的积分式由Bevir在1970年给出：
式中：U2-U1是两电极之间的电势差；A表示对所有的空间积分；称为矢量权函数，是一个只有电磁流量计本身结构决定的量，其表达式为：
而且：
式中：G和F分别是和的标量势，它们满足Laplace方程：
由以上分析可知，电势差的测量不受流体的温度、压力、密度、电导率(高于某阈值)变化的影响，具有很大的优越性。
2、插入式电磁流量计的理论计算
典型的插入式流量计结构如图1所示，将电极插入管道内，磁极留在管道外，在电极周围产生一个局部磁场。
图1 插入式流量计结构示意图
图2 简化的物理模型
建立物理模型如图2所示：e1、e2为插入管道的两个电极，电极位置由插入深度b以及电极开角θ0决定，是由外部磁极产生的磁场。基于此模型，计算G、F、W的分布。
2.1、虚电势G的计算
由于管道内有插入的电极，所以不能直接使用式(4)的Laplace方程求解虚电势。我们可将该模型的虚电势分布认为是分别只有电极和边界产生的虚电势的叠加，即G=G0+Gr。
2.1.1、只有电极的虚电势分布
假设边界无穷远，根据虚电流的定义有：
普通电场中的高斯定律：
根据对称原则，虚电势应具有和电势相似的形式，即：
根据图2的几何关系，不难求出G0的解析表达式：
2.1.2、只有边界的虚电势分布
由于测量管壁绝缘，因此有边界条件=0，即：
式(9)即为Gr的边界条件。由于此时虚电势仅由边界决定，所以有方程：
这是一个定解条件的Laplace方程，使用分离变量及傅立叶系数公式可进行求解。由于很难求得边界条件的解析解，我们在径向使用差分方法求得Gr的边界条件来求得Gr的数值解。
3.2、磁势F的计算
由于电极的插入深度一般仅为管道直径的10%～12.5%，因此假设在电极附近的磁感强度是均匀的，即：
3.3、权函数W的计算
由梯度的定义可求得：
由于磁场是均匀的，不难得到：
3.4、输出电势差的计算
假设管道中的流动为充分发展的湍流，我们选用经典湍流模型，其流场分布为：
与求得的W得输出电势差U。
3、编程计算
综合上述讨论可以看出，问题的关键在于虚电势函数G的计算，考虑到精度要求以及资源消耗，使用离散方法计算G。具体实现步骤如下：
1)、将感兴趣的区域在二维直角坐标上划分网格，使用式(8)求出每一微元上的G0值；
2)、使用差分方法计算式(9)中边界处网格的G0法向方向偏导值，作为计算Gr的边界条件；
3)、通过分离变量、利用傅立叶系数公式，以及离散的Simphson积分法计算式(10)得到Gr的半解析表达式，计算每一网格的Gr值，并合成G；
4)、按照式(13)计算G在x方向的差分，求得每一网格的W值；
5)、结合式(14)的流场模型，计算输出电压。
编写程序计算不同流场，不同电极位置的输出电压，并绘制G、W的等势分布图。
4、结果与分析
4.1、虚电势G分布(取电极间距为0.1R)
取b=0.9R(R为管道半径)，θ=0.0555rad，绘制G分布并放大电极附近区域如图3所示。
图3 b=0.9R时的G分布及局部放大图
图3中的黑点为电极，可以明显的看出G主要分布在电极周围并且在边界处分布发生显著的变化。
4.2、权函数W分布(取电极间距为0.1R)
取b=0.9R，θ=0.0555rad，绘制W分布如图4所示。
图4 b=0.9R时的W分布及局部放大图
从图4中可以看出W主要分布在电极附近，并且成对称分布。
4.3、输出电势差
通过计算可以发现，权函数W主要分布在电极附近。选择b=0.752R，对进行全空间积分，求得输出电势差U=0.1475V(为规一起见，假定vmax=1m/s，R=1m，电极处B=1T)；对距离电极所在圆周0105R的环状区域进行积分，求得输出电势差U=0.1231。因此，对最终输出电势差起作用的主要是电极附近的流场。说明我们假设的磁场模型是可用的。
选择模拟计算中常用的湍流模型
进行计算，取vmax=1，在不同的插入深度对于不同的湍流系数n进行求解，得到结果如表1所示。
表1 不同电极位置和不同湍流系数下的输出电势差
绘制湍流系数-输出电势差曲线如图5所示。
图5 湍流系数-输出电势差拟合曲线
对各组数据做最小二乘拟合，计算斜率及线性度如表2所示。
表2 不同电极位置的电势差拟合直线斜率及线性度
由图5可以看出，取vmax=1，即同一流量下，不同的湍流系数n对应了不同的输出电压。但当b=0.752R，也就是常说的平均流速点位置，输出的电势差U值基本不变。因此，只要将电极插至该位置，即可用来测量流量。为了研究插入深度偏离平均流速点所产生的测量误差，假设平均流速点位置的输出电势差为标准值，计算得到：插入深度与平均流速点偏差在011R范围内，输出电势与该标准值的相对误差约为1%～2%。
5、结论
本文完成了以下工作：
1)、建立了插入式电磁流量计的物理模型，并编写程序计算出虚电势、权函数的数值解，用于指导插入式电磁流量计的实际生产与运用；
2)、引入经典湍流模型，对不同湍流系数，不同电极位置的输出电压进行模拟计算，给出关系曲线，从理论上给出电极最优工作位置。
希望在进一步的工作中能加工制作出插入式流量计的实物，通过流量标定实验来验证理论分析结果。
